已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围; (2)求该圆半径r的取值范围.

问题描述:

已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆半径r的取值范围.

(1)由方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0
变形得:[x-(m+3)]2+[y+(1-4m2)]2=-7m2+6m+1,
当且仅当-7m2+6m+1>0,即7m2-6m-1<0时方程表示圆;
所以

1
7
<m<1时,该方程表示一个圆;
(2)在
1
7
<m<1时,设r2=-7m2+6m+1,为开口向下的抛物线,
r2=-7m2+6m+1=−7(m−
3
7
)
2
+
16
7

0<r2
16
7

0<r≤
4
7
7