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过双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（　　） A.3 B.5 C.10 D.13

分类: 作业答案 • 2021-12-16 17:22:05
问题描述：

过双曲线

x2
a2
−
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（　　）
A.
3

B.
5

C.
10

D.
13

答

经过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线，直线方程为y=-x+a
∵双曲线

x2
a2
−
y2
b2
＝1的渐近线为y=±
b
a
x
∴直线y=-x+a与渐近线的交点横坐标分别为xB=
a 2 
a−b
，xC=
a 2 
a+b

∵A，B，C三点的横坐标成等比数列，
∴（
a 2 
a−b
）2=a•
a 2 
a+b
，化简整理，解得b=3a
∵c=
a2+b2
=
10
a，
∴双曲线的离心率e=
c
a
=
10

故选：C

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