已知函数f(x)=1/3x3-bx2+c.(b,c为常数),当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围_.

问题描述:

已知函数f(x)=

1
3
x3-bx2+c.(b,c为常数),当x=2时,函数f(x)取得极值,若函数f(x)只有三个零点,则实数c的取值范围___

f(x)=

1
3
x3-bx2+c∴f'(x)=x2-2bx,
当x=2时,f(x)取得极值,得b=1
又当x充分小时f(x)<0又当x充分大时,f(x)>0.
若f(x)=0有3个实根,则
f(0)=c>0
f(2)=
1
3
×23-22+c<0

0<c<
4
3
.

故答案为;0<c<
4
3
.