如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（ ） A.1：3 B.2：3 C.3：2 D.3：3
问题描述：
如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC，AC，AB上的点，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的面积之比等于（ ）A. 1：3
B. 2：3
C.
：2
3
D.
：3
3
答
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE，
同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴△DEF与△ABC的面积之比=（
）2，DE CA
又∵△ABC为正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，△EFD是等边三角形，
∴EF=DE=DF，
又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴△AEF≌△CDE≌△BFD，
∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，
在Rt△DEC中，
DE=DC×sin∠C=
DC，EC=cos∠C×DC=
3
2
DC，1 2
又∵DC+BD=BC=AC=
DC，3 2
∴
=DE CA
=
DC
3
3DC
，
3
3
∴△DEF与△ABC的面积之比等于：（
）2=DE CA
=1：3．1 3
故选：A．