已知定点A(m,0),圆x^2+y^2=1上有一动点Q,若AQ的中点为P.（1）求动点P的轨迹方程C；（2）若过原点且倾斜角为60度的直线与曲线C交于M,N两点,是否存在以MN为直径的圆经过点A?若存在,求出A；若不存在,说明理由.

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:28:39

问题描述：

已知定点A(m,0),圆x^2+y^2=1上有一动点Q,若AQ的中点为P.
（1）求动点P的轨迹方程C；
（2）若过原点且倾斜角为60度的直线与曲线C交于M,N两点,是否存在以MN为直径的圆经过点A?若存在,求出A；若不存在,说明理由.

答

（1）设P(x,y)，Q(x1,y1) 由已知知 x=(m+x1)/2 y=(y1)/2 化简出Q坐标带入圆方程得C曲线方程（x-0.5m）^2+y^2=0.25

答

设动点P（a，b）。a=x+m/2，b=y/2求得x=a-m/2，y=2b。带入圆方程，再将a，b换成x，y即可
（2）存在，MN为直径，A在圆上，则∠MAN为直角即可。求出直线与椭圆交点MN。Kma*Kna=-1即可

答

1）设动点Q（x0,y0）,P（x,y）
则x=（x0+m）/2,y=y0/2
解得
x0=2x-m,y0=2y
因为Q点在圆上,所以
（2x-m）^2+(2y)^2=1
整理得
（2x-m)^2+4y^2=1
即为动点P的轨迹方程C
2）直线方程为y=根号3x