己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． （1）求证：∠DAC=∠DBA； （2）求证：P是线段AF的中点； （3）若⊙O的半径
问题描述：
己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）若⊙O的半径为5，AF=
，求tan∠ABF的值． 15 2
答
（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；
（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；
（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴
=AD DB
，AF BA
由题意可知圆的半径为5，
∴AB=10，
∴
=AD BD
=AF BA
=
15 2 10
，3 4
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=
=AD BD
，3 4
即：tan∠ABF=
．3 4