线性代数求大神：设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并求A^-1+B^-1的逆阵
问题描述：
线性代数求大神：设A,B,A＋B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并求A^-1+B^-1的逆阵
我能看懂以下答案,但是我不懂——它第一步咋得出来的?咋就能“首先注意到”,我就没注意到这样乘啊,求大神指示第一步咋想的T.T
首先注意到
A(A^{-1}+B^{-1})B=B+A,
于是
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1},
从而有
(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A+B)^{-1}A.
答
其实这已经很显然了,如果你实在想不出来按下面的方法试试先考虑A,B都是数的情况,这时候比矩阵还多一个乘法交换律可用通分可得1/A+1/B=(A+B)/(AB)(这步做一下不亏的,至少来说这是1阶矩阵的结果,你最后做完的结果必须...