设n阶矩阵A满足A^2-7A-6E=0(A^2为A*A,E为单位矩阵）证明A和A+2E都可逆,求A^-1,(A-2E)^-1(求A的逆矩阵和A-2E的逆矩阵
问题描述：
设n阶矩阵A满足A^2-7A-6E=0(A^2为A*A,E为单位矩阵）
证明A和A+2E都可逆,求A^-1,(A-2E)^-1(求A的逆矩阵和A-2E的逆矩阵
答
因为 A^2-7A-6E=0
所以 A(A-7E) = 6E
所以 A 可逆 且 A^-1 = (1/6)(A-7E)
由 A^2-7A-6E=0
得 A(A+2E) -9(A+2E) + 12E = 0
所以 (A-9E)(A+2E) = -12E
所以 A+2E 可逆 且 (A+2E)^-1 = (-1/12)(A-9E).
由 A^2-7A-6E=0
得 A(A-2E) -5(A-2E) -16E = 0
所以 (A-5E)(A-2E) = 16E
所以 A-2E 可逆 且 (A-2E)^-1 = (1/16)(A-5E).
答
因为A²-7A-6E=0所以A(A-7E)=6E即A[(A-7E)/6]=E所以A可逆,A^-1=(A-7E)/6A²-7A-6E=0A²-7(A+2E)+8E=0A²-4E-7(A+2E)+12E=0(A-2E)(A+2E)-7(A+2E)=-12E(A-9E)(A+2E)=-12E即[(A-9E)/(-12)](A+2E)=E所以...