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x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程a2x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:30:03
问题描述：

x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程

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x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．

答

证明：由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根，所以有ax12+bx1+c＝0−ax22+bx2+c＝0设f（x）=a2x2+bx+c，则f（x1）=a2x12+bx1+c=-a2x12，f（x2）=a2x22+bx2+c=3a2x22，∴f（x1）f（x2）=-34a2x12x22由于x...
答案解析：先由x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，得到关于x1与x2的两个等式，再设f（x）=

a
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x2+bx+c，利用条件推出f（x1）f（x2）＜0，即可说明方程
a
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x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．
考试点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．

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