已知点F为双曲线x216−y29=1右焦点,M是双曲线右支上的一动点,A(5,4),则4MF-5MA的最大值为_.

问题描述:

已知点F为双曲线

x2
16
y2
9
=1右焦点,M是双曲线右支上的一动点,A(5,4),则4MF-5MA的最大值为______.

点F(5,0),离心率e=

5
4
,设M到右准线的距离等于MN,则由双曲线的定义可得
 4MF-5MA=4•
5
4
MN
-5 MA=5(MN-MA),故当M,A,N 三点共线时,5(MN-MA)最大,
最大值为 5AN=5(5-
16
5
 )=9,
故答案为:9.