已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (I)求f(1),f(-1)的值; (Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.

问题描述:

已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(I)求f(1),f(-1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.

(I)定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0;令x=y=-1,得f(-1)=0…6分
(Ⅱ)令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),…9分
∵f(-1)=0,
∴f(-x)=-f(x),…12分
∴f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数…13分