已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1
问题描述:
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1
答
证明:
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)<f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1<A<A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1<x<x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A<0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A>0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在(x1,x2)内必有一实数根.