如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点． （1）证明：△PBC是直角三角形； （2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为2时，直线AB与平面PBC所成
问题描述：
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为
时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
2
答
（1）证明：∵C在圆O上，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
（2） 如图，过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，则∠ABH就是要求的角．…（8分）
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，…（9分）
∵tan∠PCA=
=PA AC
，又PC=2，∴AC=
2
．…（10分）
2
∴在Rt△PAC中，AH=
=PA•AC
PA2+AC2
2 3
，…（11分）
3
∴在RtABH中，sin∠ABH=
=
2 3
3
2
，
3
3
故AC与平面PBC所成角正弦值为
．…（12分）
3
3