P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心， （1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC； （2）求S△A′B′C′：S△ABC．
问题描述：
P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC；
（2）求S△A′B′C′：S△ABC．
答
证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q，
连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，
∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上，
且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3．
在△PMN中，
＝PC′ PM
＝PA′ PN
，2 3
故C′A′∥MN，
又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC，
∴A′C′∥AC，
∴A′C′∥平面ABC，
同理A′B′∥平面ABC，
∴平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）由（1）知，
＝A′B′ QN
，2 3
＝QN AB
，1 2
∴A′B′：AB=1：3．
∴S△A′B′C′：S△ABC=（A′B′）2：（AB）2=1：9．