在椭圆x240+y210=1内有一点M(4,-1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB所在的直线的方程.

问题描述:

在椭圆

x2
40
+
y2
10
=1内有一点M(4,-1),使过点M的弦AB的中点正好为点M,求弦AB所在的直线的方程.

由题意,直线的斜率存在
设直线的斜率为k,则方程为y+1=k(x-4),与椭圆

x2
40
+
y2
10
=1联立,
消去y得(1+4k2)x2-(32k2+8k)x-40=0,
∴x1+x2=
32k2+8k
1+4k2

∵M是弦AB的中点,
32k2+8k
1+4k2
=8,解得k=1,
此时方程(1+4k2)x2-(32k2+8k)x-40=0的判别式大于0,从而直线AB与椭圆有两个交点,k=1符合题意.
∴AB的方程是x-y-5=0.