已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A． （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若BC=2，BD=5/2，求A
问题描述：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，BD=
，求5 2
的值． AD AO
答
（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1，连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=90°．
∴直线BD与⊙O相切．
（2）解法一：如图1，连接DE．
∵∠C=90°，BC=2，BD=
5 2
∴cos∠CBD＝
＝BC BD
．4 5
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．
∴cosA＝
．AD AE
∵∠CBD=∠A，
∴
=AD AE
=BC BD
．4 5
∵AE=2AO，
∴
=AD AO
．8 5
解法二：如图2，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH＝DH＝
AD．1 2
∴cosA＝
AH AO
∵∠C=90°，BC=2，BD=
5 2
∴cos∠CBD＝
＝BC BD
．4 5
∵∠CBD=∠A，
∴
=AH AO
=BC BD
．4 5
∴
=AD AO
．8 5