用极限定义证明： lim( 2^n/n!)=0 其中n趋向于无穷.

对于任意(充分小)的ε>0,要使，|2^n/n!-0| 只需要令|2^n/n!-0| 故对于任意的 n>N 都有 ,|2^n/n!-0| 因此 lim( 2^n/n！)=0 其中n趋向于无穷。
思路是这样的，因为原式的形式不好找到一个N 当n>N时，使|2^n/n!-0|小于充分小的ε，所以我将2^n/n!放大，放大成(2*2*2*3*4*5*……*n-1)/n!，让放大后的式子小于ε，这样可以求解出来一个N，当n>N时，放大的式子都小于ε了，那么原式肯定也小于ε，所以极限为0

证明：
lim( 2^n/n！)=lim16*2^(n-4)/(24*5*6*……n)
=(2/3)lim2^(n-4)/(5*6*……n) 又因为 lim( 2^n/n！)>0,所以lim( 2^n/n！)=0 。
（虽然不是用定义法证明，而是夹迫定理，但是希望能够给你帮助。）

证明：对于任意给定的ε＞0,要使
│2^n/n!-0│=2^n/n!＜ε
2^n/n!=(2/1)(2/2)...(2/n)=2(2/3)(2/4)...(2/n)所以,n＞2/ε
所以,对于任意给定的ε＞0,取N=[2/ε],当n＞N时,恒有│2^n/n!-0│＜ε
所以,lim2^n/n!=0

简单的使用无穷级数证明：
an+1/an=2^n+1*n！/n+1！*2^n=2/n+1=0
故an收敛当n趋向无穷是an=0
定义的话就：
2^n/n！当n趋向无穷时，A$>0,使得2^n/n！呵呵~百度写数学式我还真不熟，不过估计能够给楼主思路le ~
把分给我吧~呵呵~