二次函数y=1/6（x+23）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC． （1）求直线AB的表达式和点C的坐标． （2）点M（m，1）在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的
问题描述：
二次函数y=
（x+21 6
）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC．
3
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标．
（2）点M（m，1）在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．
（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N的坐标．
答
（x+2
）2的图象的顶点A（-2
，0），与y轴的交点B（0，2），
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
可求得 k=
，b=2．所以直线AB的表达式为y=
x+2．
可得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点C（-2
，4）．
（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴CM∥AB．
设直线CM的表达式为y=
x+m，点C（-2
，4）在直线CM上，
可得 m=6．
∴直线CM的表达式为y=
x+6．
可得点M的坐标：（-5
，1）．
（3）由C（-2
，4）、M（-5
，1）可得：
CM=
=6．
①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN=
=
=
；
∴ON=AN+OA=
+2
或ON=AN-OA=
-2
即：点N的坐标为：（-
-2
，0）、（
-2
，0）．
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2
或ON=OA-AN=2
-3
即：点N的坐标为：（-3-2
，0），（3-2
，0）．
综上可知：
点N的坐标（-3-2
，0），（3-2
，0），（-
（1）二次函数y=
| 1 |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
可求得 k=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
可得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点C（-2
| 3 |
∴CM∥AB．
设直线CM的表达式为y=
| ||
| 3 |
| 3 |
可得 m=6．
∴直线CM的表达式为y=
| ||
| 3 |
可得点M的坐标：（-5
| 3 |
（3）由C（-2
| 3 |
| 3 |
CM=
(−2
|
①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN=
| CN2−CA2 |
| 72−42 |
| 33 |
∴ON=AN+OA=
| 33 |
| 3 |
| 33 |
| 3 |
即：点N的坐标为：（-
| 33 |
| 3 |
| 33 |
| 3 |
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2
| 3 |
| 3 |
即：点N的坐标为：（-3-2
| 3 |
| 3 |
综上可知：
点N的坐标（-3-2
| 3 |
| 3 |