若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切，则a等于 ___ ．
问题描述：
若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+
x-9都相切，则a等于 ___ ．15 4
答
知识点：熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax2+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．
由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y-x03=3x02（x-x0），（1，0）代入方程得x0=0或x0=
3 2
①当x0=0时，切线方程为y=0，则ax2+
x-9=0，△=(15 4
)2-4a×(-9)=0⇒a=-15 4
25 64
②当x0=
时，切线方程为y=3 2
x-27 4
，由27 4
⇒ax2-3x-
y=ax2+
x-915 4 y=
x-27 4
27 4
=0，△=32-4a(-9 4
)=0⇒a=-1∴a=-9 4
或a=-1．25 64
故答案为：-
或-125 64
答案解析：已知点（1，0）不知曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+
x-9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．15 4
考试点：导数的几何意义．
知识点：熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax2+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．