如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.
问题描述:
如图,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.
答
证明:延长DC到F,使CF=BD,连接AF,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACF,
在△ABD和△ACF中,
,
AB=AC ∠ABD=∠ACF BD=CF
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴AD=AF,
又∵∠ADB=60°,
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=DF,
∵AD=AE+DE,DF=DB+BC+CF,
又∵DE=DB,且∠ADB=60°
∴△DEB是等边三角形.
∴DE=BE=DB=CF,
∴AE+DE=BE+BC+DE,
∴AE=BE+BC.
答案解析:首先延长DC到F,使CF=BD,连接AF,易得△ABD≌△ACF,继而可得△ADF是等边三角形,△DEB是等边三角形.则可证得结论.
考试点:等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
知识点:此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.