如图,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF,若EF与BC相交于D,求证:DE=DF.

问题描述:

如图,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF,若EF与BC相交于D,求证:DE=DF.

证明:作FH∥AB交BC延长线于H,
∵FH∥AB,
∴∠FHC=∠B.
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
又∵∠ACB=∠FCH,
∴∠FHE=∠FCH.
∴CF=HF.
又∵BE=CF,
∴HF=BE.
又∵FH∥AB,
∴∠BED=∠HFD,
在△DBE与△FHE中,

∠B=∠FHC
BE=HF
∠BED=∠HFD

∴△DBE≌△FHE(ASA).
∴DE=DF.