已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx.问是否存在实数a>0,使得方程Q（x）＝g(x)╱x－f'(x)＋(2a+1)在区间(1/e,e)内只有两个不相等的实数根?若存在,求a的取值范围；若不存在,请说明理由.
问题描述：
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx.问是否存在实数a>0,使得方程Q（x）＝g(x)╱x－f'(x)＋(2a+1)在区间(1/e,e)内只有两个不相等的实数根?若存在,求a的取值范围；若不存在,请说明理由.
答
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx.问是否存在实数a>0,使得方程Q（x）＝g(x)╱x－f'(x)＋(2a+1)在区间(1/e,e)内只有两个不相等的实数根?若存在,求a的取值范围；若不存在,请说明理由.
解析：∵函数f(x)=1/2ax^2+2x,a>0,∴f’(x)=ax+2
∵g(x)=lnx
∴Q(x)=g(x)/x-f'(x)+(2a+1)=lnx/x-ax+2a-1,其定义域为x>0
令Q’(x)=(1-lnx)/x^2-a=0==>ax^2+lnx-1=0
显然,当a=1,x=1时,ax^2+lnx-1=0成立
当01时,Q’(x)e
∴Q(x)=0在区间(1/e,e)内有二个实数根时,a的取值范围为1