已知函数f(x)=(2a+1)ex+(a2-1)e-x,a∈R (1)若f(x)是奇函数,求a的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)在R上是增函数?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

问题描述:

已知函数f(x)=(2a+1)ex+(a2-1)e-x,a∈R
(1)若f(x)是奇函数,求a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)在R上是增函数?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

(1)令f(0)=0,
∴(2a+1)×1+(a2-1)×1=0,
∴a=-2或a=0.
(2)∵f'(x)=(2a+1)ex-(a2-1)e-x
令f'(x)≥0,

(2a+1)e2x−(a2−1)
ex
≥0,
∴(2a+1)e2x-(a2-1)≥0,
当a=-
1
2
时,不符合题意,舍去
所以2a+1≠0,
∴e2x
a2−1
2a+1

∵使得f(x)在R上是增函数,
a2−1
2a+1
≤0,
∴a≤-1或-
1
2
<a≤1,
∴存在实数a,使得f(x)在R上是增函数,实数a的取值范围(-∞,-1]∪(-
1
2
,1];