已知对任意a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求x的取值范围.

问题描述:

已知对任意a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求x的取值范围.

令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则原问题转化为f(a)>0恒成立(a∈[-1,1]).
所以有

f(1)>0
f(−1)>0
,即
x2−3x+2>0
x2−5x+6>0
,解之得x<1或x>3.
故x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).