如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF. (1)试说明梯形ABCD是等腰梯形; (2)若AD=1,BC=3,DC=2,试判断△DCF的形状; (3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P
问题描述:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=
,试判断△DCF的形状;
2
(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.
答
(1)证明:∵EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵EF∥AB,
∴∠B=∠EFC,
∴∠B=∠ECF,
∴梯形ABCD是等腰梯形;
(2)△DCF是等腰直角三角形,
证明:∵DE=EC,EF=EC,
∴EF=
CD,1 2
∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),
∵梯形ABCD是等腰梯形,且AD=1,BC=3,
∴CF=
(BC-AD)=1,1 2
∵DC=
,
2
∴由勾股定理得:DF=1,
∴△DCF是等腰直角三角形;
(3)共四种情况:
∵DF⊥BC,
∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,
即PF=1,
∴PB=1;
当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,
∴PB=2;
当PC=CD=
(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,
2
∴PB=3-
;
2
当PC=CD=
(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,
2
∴PB=3+
.
2
故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3-
,PB=3+
2
.(每个1分)
2