数学证明题：当n为正整数时,n^3-n的值必是6的倍数.证明.
问题描述：
数学证明题：当n为正整数时,n^3-n的值必是6的倍数.证明.
答
首先,连续的三个整数,至少有一个是2的倍数,至少有一个是3的倍数
而2和3互质,所以连续的三个数这种,一定能被2*3=6整除
n^3-n=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)=(n-1)n(n+1)是三个连续的整数之积,所以,n^3-n一定有被6整除,也就是它必是6的倍数
定理:n个连续的正整数这种能被n!整除
答
n^3-n
=n(n^2-1)
=(n-1)n(n+1)是三个连续的整数，
必然有一个是偶数(2的倍数），一个是3的倍数。
所以：n^3-n的值必是6的倍数
答
数学归纳法
(1)当n=1时 1^3-1=0 能被6整除
当n=2时 2^3－2=6 能被6整除
(2)假设当n=k时(k为正整数) k^3-k能被6整除
则当n=k+1时 (k+1)^3-(k+1)=(k+1)[(k+1)^2-1]=(k+1)(k+2)k
k(k+1)(k+2)为连续三个正整数的乘积
连续三个正整数中必有一个3的倍数 至少有一个为偶数
所以k(k+1)(k+2)中有2和3两个因子 一定能被6整数
综合(1)(2)可知 对于任意正整数n^3-n必是6的倍数