如图,正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF的面积.

问题描述:

如图,正方形ABCD中,AB=

3
,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°,求△AEF的面积.

将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,
∴AG=AF,∠GAB=∠FAD=15°,
∠GAE=15°+30°=45°,
∠EAF=90°-(30°+15°)=45°,
∴∠GAE=∠FAE,又AE=AE,
∴△AEF≌△AEG,∴EF=EG,
∠AEF=∠AEG=60°,
在Rt△ABE中,AB=

3
,∠BAE=30°,
∴∠AEB=60°,BE=AB•tan30°=1,
在Rt△EFC中,∠FEC=180°-(60°+60°)=60°,
EC=BC-BE=
3
-1,EF=2(
3
-1),
∴EG=2(
3
-1),S△AEG=
1
2
EG•AB=3-
3

∴S△AEF=S△AEG=3-
3

答案解析:将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置,得到△ABG,求证:△AEF≌△AEG,要求△AEF的面积求△AEG即可,且AB为底边上的高,EG为底边.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.

知识点:本题考查了全等三角形的证明,考查了正方形各边各内角均相等的性质,解本题的关键是巧妙地构建△ABG,并且求证△AEF≌△AEG.