已知:P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂足.求证:(1)△ABP≌△CBP;(2)AP=EF.

问题描述:

已知:P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂足.
求证:

(1)△ABP≌△CBP;
(2)AP=EF.

证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=

1
2
∠ABC,
在△ABP和△CBP中,
AB=CB
∠ABP=∠CBP
BP=BP

∴△ABP≌△CBP(SAS);
(2)∵△ABP≌△CBP,
∴AP=PC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∵PE⊥DC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠PFC=90°,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,
∴AP=EF.
答案解析:(1)由四边形ABCD是正方形,可得AB=CB,∠ABD=∠CBD=
1
2
∠ABC,然后根据SAS即可判定△ABP≌△CBP;
(2)由(1),可得AP=CP,又由PE⊥DC,PF⊥BC,易证得四边形PECF是矩形,根据矩形的对角线相等,即可得PC=EF,继而证得AP=EF.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.