如图所示,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连接EF,给出下列四个结论: ①AP=EF; ②△APD一定是等腰三角形; ③∠PFE=∠BAP; ④PD=2EC, 其中正确结论的序号是_.

问题描述:

如图所示,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连接EF,给出下列四个结论:

①AP=EF;  ②△APD一定是等腰三角形;  ③∠PFE=∠BAP;  ④PD=

2
EC,
其中正确结论的序号是______.

如图,连接PC,在正方形ABCD中,∠ABP=∠CBP=45°,AB=CB,
∵在△ABP和△CBP中,

AB=CB
∠ABP=∠CBP
BP=BP

∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴AP=PC,∠BAP=∠BCP,
又∵PE⊥BC,PF⊥CD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF,∠BCP=∠PFE,
∴AP=EF,∠PFE=∠BAP,故①③正确;
∵PF⊥CD,∠BDC=45°,
∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PD=
2
PF,
又∵矩形的对边PF=EC,
∴PD=
2
EC,故④正确;
只有点P为BD的中点或PD=AD时,△APD是等腰三角形,故②错误;
综上所述,正确的结论有①③④.
故答案为:①③④.