已知函数y=(14)x−(12)x+1的定义域为[-3,2],则该函数的值域为______.

问题描述:

已知函数y=(

1
4
)x−(
1
2
)x+1的定义域为[-3,2],则该函数的值域为______.

由于x∈[-3,2],∴

1
4
(
1
2
)
x
≤8,令 t=(
1
2
)
x

则有y=t2-t+1=(t−
1
2
)
2
+
3
4

故当t=
1
2
时,y有最小值为
3
4
,当t=8时,y有最大值为57,
故答案为[
3
4
,57
].
答案解析:由于x∈[-3,2],可得
1
4
(
1
2
)
x
≤8,令 t=(
1
2
)
x
,有y=t2-t+1=(t−
1
2
)
2
+
3
4
,再利用二次函数的性质求出它的最值.
考试点:指数型复合函数的性质及应用.
知识点:本题主要考查指数型函数的性质以及应用,求二次函数在闭区间上的最值,属于中档题.