已知an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列1）若an=3n+1是否存在m,k∈N＊有am+a（m+1）=ak?2）找出所有数列（an）（bn）,使对一切n∈N＊,a（n+1）/an=bn,说明理由
问题描述：
已知an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列
1）若an=3n+1是否存在m,k∈N＊有am+a（m+1）=ak?
2）找出所有数列（an）（bn）,使对一切n∈N＊,a（n+1）/an=bn,说明理由
答
：（1）由am+am+1=ak，得6m+5=3k+1，
整理后，可得k-2m=
43，∵m、k∈N*，∴k-2m为整数，
∴不存在m、k∈N*，使等式成立．
（2）设an=nd+c，若an+1an=bn，对n∈N×都成立，
且{bn}为等比数列，则an+2an+1/
an+1an=q，对n∈N×都成立，
即anan+2=qan+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，
对n∈N×都成立，∴d2=qd2
（i）若d=0，则an=c≠0，∴bn=1，n∈N*．
（ii）若d≠0，则q=1，∴bn=m（常数），即dn+d+cdn+c=m，则d=0，矛盾．
综上所述，有an=c≠0，bn=1，使对一切n∈N×，an+1an=bn．
答
6m+7=3k+1
6(m+1)=3k
k=2m+2
q=bn/bn-1=an+1/an-1
an+1-(an-1)=2d
两个联立
an-1=1+2d/q是常数
所以an是常数列
bn也是常数列,且bn=1