二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a是正整数),c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5
问题描述:
二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a是正整数),c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答
设f(x)=a(x-p)(x-q),其中p,q属于(0,1)且p不等于q.
由f(0)≥1及f(1)≥1,可得:apq≥1,a(1-p)(1-q)≥1,
两式相乘有a2p(1-p)q(1-q)≥1,即a2≥
,1 p(1−p)q(1−q)
又由基本不等式可得:p(1-p)q(1-q)≤
1 16
由于上式取等号当且仅当p=q=
与已知矛盾,故上式的等号取不到,1 2
故p(1-p)q(1-q)<
1 16
因此得到a2>16即a>4
所以函数f(x)=5x2-5x+1满足题设的所有条件,
因此a的最小值为5.
故选D.
答案解析:将二次函数f(x)设成两根式形式,根据条件写出两根式形式的关系式,将a分离出来,然后利用基本不等式求出最值即可
考试点:一元二次方程的根的分布与系数的关系.
知识点:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及根的分布问题,本题解题的关键是熟练应用基本不等式求最值,属于中档题目.