已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证：bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)＞6abc
问题描述：
已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证：bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)＞6abc
答
可以取等号，证ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc =a(b^2+c^2-2bc)+b(c^2+a^2-2ca)+c(a^2+b^2-2ab)
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 ≥0
答
证明：bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)=cb^2+bc^2+ac^2+ca^2+ba^2+ab^2=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)【括号中用均值不等式,不可能取等号】>a(2bc)+b(2ac)+c(2ab)=2abc+2abc+2abc=6abc证毕!