已知函数f（x）=x+1x+alnx的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2x的极值．
问题描述：
已知函数f（x）=x+
+alnx的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．1 x
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2x的极值．
答
（Ⅰ）∵f（x）=x+
+alnx，1 x
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=1-
+1 x2
=a x
．
x2+ax-1 x2
设函数f（x）在点（x0，y0）处的切线的斜率为2，
则
=2，
+ax0-1
x
2
0
x
2
0
即
-ax0+1=0．
x
2
0
欲使该方程在x∈（0，+∞）内有且仅有一根，
应满足
，解得a=2．
a＞0 △=a2-4=0
（Ⅱ）g(x)=3x+
+2lnx，其定义域为（0，+∞），1 x
g′(x)=3-
+1 x2
=2 x
．g'（x）＞0，解得x＞3x2+2x-1 x2
；1 3
g'（x）＜0，解得0＜x＜
．1 3
所以函数g（x）的单调递增区间为(
，+∞)，递减区间为(0，1 3
)1 3
所以函数有极小值g(
)=4-2ln3．1 3
答案解析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1-
+1 x2
=a x
．由此利用导数性质能求出a．
x2+ax-1 x2
（Ⅱ）g(x)=3x+
+2lnx，其定义域为（0，+∞），g′(x)=3-1 x
+1 x2
=2 x
．由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）+2x的极值．3x2+2x-1 x2
考试点：利用导数研究函数的极值
知识点：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．