已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为32，若函数g（x）=13x3+x2[f′（x）+m2]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为
，若函数g（x）=3 2
x3+x2[f′（x）+1 3
]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围． m 2
答
解 （1）f′（x）=a(1-x)x（x＞0），①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；②当a＜0时，若x∈（1，+...
答案解析：（1）求导数f′（x），利用导数与函数单调性的关系分情况讨论即可．（2）由切线斜率为32，可求出a值，进而求出f（x）、f′（x），因为g（x）在区间（1，3）上不单调，所以g′（x）改变符号，从而得到m所满足的条件．
考试点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查了导数与函数单调性的关系，利用导数解决问题的能力，注意数形结合思想的应用．