已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足：f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．
问题描述：
已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足：f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．
答
（1）∵f（0）=1，∴c=1，…（1分）
∴f（x）=x2+bx+1．
∴f（x+1）-f（x）=（x+1）2+b（x+1）+1-x2-bx-1=2x+b+1=2x…（4分）
∴b=-1，
∴f（x）=x2-x+1．…（6分）
（2）f(x)＝x2−x+1＝(x−
)2+1 2
，…（8分）3 4
∵x∈[0，2]，f（2）=3，
∴f（x）在[0，
]上是减函数，在[1 2
，2]上是增函数．1 2
又＞f（0）=1，…（10分）
∴f(x)max＝f(2)＝3，f(x)min＝f(
)＝1 2
． …（12分）3 4
答案解析：（1）根据f（0）=1，用待定系数法求得b=-1，即得函数的解析式．
（2）由f(x)＝x2−x+1＝(x−
)2+1 2
，可得f（x）在[0，3 4
]上是减函数，在[1 2
，2]上是增函数，由此求得1 2
函数f（x）在[0，2]上的最值．
考试点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
知识点：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值的方法，用待定系数法求函数的解析式，属于中档题．