双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的两个焦点F1,F2,点A在双曲线的第一象限的图像上,若三角形AF1F2面积为且tanAF1F2=1/2,tanAF2F1=-2求双曲线的方程?面积为1

设∠F₁AF₂=α
双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
因为A在双曲线上，由定义|AF₁-AF₂|=2a
在焦点三角形中，由余弦定理得
F₁F₂的平方=AF₁平方+AF₂平方-2AF₁AF₂cosα
=|AF₁-AF₂|平方+2AF₁AF₂-2AF₁AF₂cosα
(2c)^2=(2a)^2+2AF₁AF₂-2AF₁AF₂cosα
AF₁AF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)
=2b^2/(1-cosα)
三角形的面积公式=1/2 AF₁AF₂sinα
=b^2sinα/(1-cosα)
=b^2cot(α/2)=1
tanAF1F2=1/2,tanAF2F1=-2
tanα=tan(180-AF1F2-AF2F1)=-tan(AF1F2+AF2F1)=3/4
再得tanα/2=1/3或3,cot(α/2)=1/3或3，再由b^2cot(α/2)=1
求出b，a

设A(m,n).m＞0,n＞0．
由tanAF1F2=1/2可得,n/(m+c)=1/2,
由tanAF2F1=-2可得,n/(m-c)= 2,
由三角形AF1F2面积为1可得,1/2•2c•n=1,
以上三式联立解得：
c＝√3／2,m＝5√3／6,n＝2√3／3．
所以A（5√3／6,2√3／3）,F1（－√3／2,0）,F2（√3／2,0）.
根据双曲线定义可得2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝√15.
a＝√15／2,
b＝√（c²－a²）＝√3.
∴双曲线方程为4x²／15－y²／3＝1．