不许用导数和极限证明增函数的题已知定义在(0.+∞)上的函数f(x)满足以下两个条件:1.对任意的x,y∈(0.+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y)2.当x>1时,f(x)>0求证:f(x)在(0.+∞)是增函数.
问题描述:
不许用导数和极限证明增函数的题
已知定义在(0.+∞)上的函数f(x)满足以下两个条件:
1.对任意的x,y∈(0.+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y)
2.当x>1时,f(x)>0
求证:f(x)在(0.+∞)是增函数.
答
f(x)=f(y*x/y)=f(y)+f(x/y)
所以f(x/y)=f(x)-f(y)
设0
f(x2/x1)>0
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
f(x2)>f(x1)
所以f(x)在(0.+∞)是增函数