已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2． （Ⅰ）利用定义证明函数f（x）在R上是增函数； （Ⅱ）求f（x）在[-2，1]上的值域．
问题描述：
已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（Ⅰ）利用定义证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[-2，1]上的值域．
答
（Ⅰ）设x1＜x2且x1，x2∈R，则x2-x1＞0，
由条件当x＞0时，f（x）＞0∴f（x2-x1）＞0．
又f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）＞f（x1）
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）为增函数，
（Ⅱ）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）．
又令x=y=0得f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
∵f（-1）=-f（1）=-2，f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2]．