设x1,x2是关于x的一元二次方程x的平方-2mx+m-1=0的两个实根,则(x1+5x2)(x2+5x1)的最小值为?
问题描述:
设x1,x2是关于x的一元二次方程x的平方-2mx+m-1=0的两个实根,则(x1+5x2)(x2+5x1)的最小值为?
答
方程的判别式△=(-2m)^2-4*(m-1)=(2m-1)^2+3>=3>0,
——》方程恒有两个不同根,
由韦达定理:
x1+x2=2m,
x1*x2=m-1,
(x1+5x2)(x2+5x1)
=5(x1+x2)^2+16x1x2
=5*(2m)^2+16*(m-1)
=20m^2+16m-16
=20(m+2/5)^2-96/5>=-96/5,
即原式的最小值为-96/5。
答
由韦达定理可知。x1+x2=-b/a=2m,x1*x2=c/a=m-1,(x1+5x2)(x2+5x1)=16x1*x2+5(x1+x2)^2=4(5m^2+4m-4)
最小值为-96/5
答
(x1+5x2)(x2+5x1)=x1x2+5x1^2+5x2^2+25x1x2=26x1x2+5(x1^2+x2^2)=5(x1+x2)^2 +16x1x2=(2m)^2+16(m-1)=4m^2+16m-16=4(m+2)^2-32 m=-2时最小值为-32