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若a＞l，设函数f（x）=ax+x-4的零点为m，函数g（x）=logax+x-4的零点为n，则1m+1n的最小值为（　　）A. 1B. 2C. 4D. 8

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:20:32
问题描述：

若a＞l，设函数f（x）=ax+x-4的零点为m，函数g（x）=logax+x-4的零点为n，则

1
m
+
1
n
的最小值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

答

由题意，构建函数F（x）=ax，G（x）=logax，h（x）=4-x，
则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，
注意到F（x）=ax，G（x）=logax，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，
由于y=x与y=4-x交点的横坐标为2，
∴m+n=4，
∴

1
m
+
1
n
=
1
4
（
1
m
+
1
n
）（m+n）=
1
4
（2+
n
m
+
m
n
）≥
1
4
(2+2
n
m
•
m
n
)=1，当且仅当m=n时取等号，
∴
1
m
+
1
n
的最小值为1．
故选A．
答案解析：构建函数F（x）=ax，G（x）=logax，h（x）=4-x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，注意到F（x）=ax，G（x）=logax，关于直线y=x对称，可得m+n=4，再用“1”的代换，利用基本不等式，即可得出结论．
考试点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的零点．
知识点：本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生分析转化问题的能力，求出m+n=4，正确运用基本不等式是关键．

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