如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF,求证:AE、EF、FB为同一个直角三角形的三边长.

问题描述:

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF,求证:AE、EF、FB为同一个直角三角形的三边长.

证明:过点A作AM∥BC,交FD延长线于点M,连接EM.
∵AM∥BC,
∴∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B.
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF,
∴△ADM≌△BDF.
∴AM=BF,MD=DF.
又∵DE⊥DF,∴EF=EM.
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
即AE、EF、FB为同一个直角三角形的三边长.