设函数f(x)＝clnx+1/2x2+bx，且x＝1为f(x)的极值点． （I）若x=1为f（x）的极大值点，求函数的单调区间（用c表示）； （II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．
问题描述：
设函数f(x)＝clnx+
x2+bx，且x＝1为f(x)的极值点．1 2
（I）若x=1为f（x）的极大值点，求函数的单调区间（用c表示）；
（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．
答
（I）求导函数，可得f′(x)＝
x2+bx+c x
∵x=l为f（x）的极大值点，∴f′（1）=0
∴f′(x)＝
，c＞1，b+c+1=0(x−1)(x−c) x
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0；
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，若f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，
∴
+b＜0，∴−1 2
＜c＜01 2
②若0＜c＜1，则f极大（x）=f（c）=clnc+
c2+bc，f极小（x）=f（1）=1 2
+b1 2
∵b=-1-c，∴f极大（x）=f（c）=clnc+
c2+c(−1−c)＜0，f极小（x）=f（1）=-1 2
-c，从而f（x）=0只有一解；1 2
③若c＞1，则f极小（x）=f（c）=clnc+
c2+c(−1−c)＜0，f极大（x）=f（1）=-1 2
-c，从而f（x）=0只有一解；1 2
综上，可知f（x）=0恰有两解时，实数c的取值范围为−
＜c＜01 2