已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N,n≥2).(Ⅰ){an}是否可能是等差数列.若可能,求出{an}的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅱ)设bn=an+c(n∈N,c是常数),若{bn}是等比数列,求实数c的值,并求出{bn}的通项公式.

问题描述:

已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N,n≥2).
(Ⅰ){an}是否可能是等差数列.若可能,求出{an}的通项公式;若不可能,说明理由;
(Ⅱ)设bn=an+c(n∈N,c是常数),若{bn}是等比数列,求实数c的值,并求出{bn}的通项公式.

(I)∵a1=a(a≠-1),a2=2a+1,a3=2a2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a1+a3=5a+3,2a2=4a+2.∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a1+a3≠2a2,故{an}不是等差数列.(II)由{bn}是等比数列,得b1b3=b2 ,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+...
答案解析:(I)根据an=2an-1+1求出a1、a2、a3,判断aa1+a3是否等于2a2从而得出{an}是否是等差数列;
(II)利用等比中项得出bb1b3=b2 ,然后将值代入得出(a+1)(1-c)=0,从而求出a、c的值,即可求出公比q,从而求出通项公式.
考试点:等比数列的性质;等差关系的确定.
知识点:本题考查等差数列的证明,考查数列的通项以及等比数列的通项公式的求法,属于中档题.