设数列 1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,……,1/k,2/(k-1)……k/1……(1)这个数列第2010项是多少 (2)在这个数列中 第2010个值为1的项的序号为多少?

问题描述:

设数列 1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,……,1/k,2/(k-1)……k/1……
(1)这个数列第2010项是多少 (2)在这个数列中 第2010个值为1的项的序号为多少?

(1)我们很容易知道1/k之前共有1+2+3+...+(k-1)=(k-1)k/2项
(k-1)k/2≤2010 ≤ (k+1)k/2 k=63
而62*63/2=1953 2010-1953=57
所以第2010项=57/(63-57+1)=57/7
(2)从数列我们可以看出只有当k为奇数时才会有值为1的项,且在(k+1)/2的位置
所以在这个数列中 第2010个值为1的项={[(2010*2-1)+1]/2}/{(2010*2-1)-[(2010-1)+1]/2+1}=2010/2010=1
所以在这个数列中 第2010个值为1的项的序号=1+2+...+(2010-1)*2+2010=16150352

(1)
从显示的规律上,我们把 分子+分母=同一值的称为一组,
显然,每组是:
1/1
1/2,2/1
1/3,2/2,3/1
.
1/k,2/(k-1)...k/1
这样,到1/k时,前面有k-1组,共 1+2+3+...+k-1=k(k-1)/2项
对于2010项我们来解不等式组:
k(k-1)/2