已知a,b,c分别为三角形ABC中角A角B角C所对的边,且A,B,C成等数列,b=根号3,求三角形ABC周长的最大值

最大周长为3+3√3

A,B,C成等数列，角B=60度，根据正弦定理可以得，a=2*sinA，c=2*sinC，
a+b+c
=根号3+2*（sinA+sinC）
=根号3+2*{sinA+sin[180-(60+A)]}
=根号3+2*[sinA+sin(60+A)]
=根号3+2*（sinA+根号3/2*sinA+1/2*cosA）
=根号3+2*（根号3/2*sinA+3/2*cosA）
=根号3+2*根号3（1/2*sinA+根号3/2*cosA）
=根号3+2*根号3*（sinA*cos60度+cosA*sin60度）
=根号3+2*根号3*sin（A+60度）
60度 ＜ A+60度＜120度
根号3/2＜sin（A+60度）≤1
3+根号3＜a+b+c≤3*根号3

A＋B＋C=180°,且A、B、C成等差数列,则：
B=60°
因：b=√3
则：b²=a²＋c²－2accosB=a²＋c²－ac=(a＋c)²－3ac
(a＋c)²－ac=3
又：a＋c≥2√(ac)
则：ac≤(1/4)(a＋c)²
得：
(a＋c)²－3≤(3/4)(a＋c)²
(1/4)(a＋c)²≤3
a＋c≤2√3
即：a＋b＋c≤3√3
所以三角形周长的最大值是3√3