已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,圆心O1在⊙O2上,过B点作两圆的割线CD,射线DO1交AC于E点.求证:DE⊥AC.

问题描述:

已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,圆心O1在⊙O2上,过B点作两圆的割线CD,射线DO1
AC于E点.求证:DE⊥AC.

方法一:
证明:如图:
连接AB、作圆O1的直径AF,连接FB,
∵AF为直径
∴∠BAF+∠AFB=90°
∵∠C=∠F,∠FAB=∠EDB
∴∠C+∠EDB=90°
∴DE⊥AC
方法二:
证明:如图:

连接AD,AO1,CO1,BO1
∵AO1=BO1
∴弧AO1=弧BO1,∠ADO1=∠BDO1
在⊙O1中,CO1=BO1
∴∠O1CB=∠O1BC;
∵A,B,D,O1四点共圆,
∴∠O1BC=∠O1AD=∠O1CB;
在△CDO1和△ADO1

O1DC=∠O1DA
∠DCO1=∠DAO1
DO1=DO1

∴△CDO1≌△ADO1
∴AD=CD,∠ADO1=∠CDO1
∴DE⊥AC.
答案解析:方法一:首先连接AB、作圆O1的直径AF,连接FB,利用圆周角定理得出∠BAF+∠AFB=90°,进而求出∠C+∠EDB=90° 即可.
方法二:首先连接AD,AO1,CO1,BO1;由于A,B,D,O1四点共圆,根据圆内接四边形的性质知可证得△CDO1≌△ADO1,则AD=CD,DE为等腰△ACD的顶角平分线;由等腰三角形的性质:顶角的平分线与底边上的高重合,进而得出答案.
考试点:相交两圆的性质.

知识点:本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,综合性较强,难度较大.