如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=8cm,BC=18cm,CD=10,点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动,点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动,设运动时间为t秒,联结PQ.(1)求梯形ABCD的面积;(2)在P、Q的运动过程中,当t取何值时,线段PQ与CD相等?(3)当t=2时,在线段AB上是否存在一点M,使得∠QPM=90°?若存在,请求BM的长;若不存在,请说明理由.

问题描述:

如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=8cm,BC=18cm,CD=10,点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动,点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动,设运动时间为t秒,联结PQ.

(1)求梯形ABCD的面积;
(2)在P、Q的运动过程中,当t取何值时,线段PQ与CD相等?
(3)当t=2时,在线段AB上是否存在一点M,使得∠QPM=90°?若存在,请求BM的长;若不存在,请说明理由.

(1)如图1,过D作DE⊥BC于E.
∵梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,
∴DE∥AB.
∴四边形ABCD是矩形.
∴DE=AB=8,AD=BE.
在Rt△DEC中,由勾股定理,得
EC=

DC2−DE2
10282
=6
∴BE=AD=18-6=12,
S
1
2
(AD+BC)•AB
=
1
2
(12+18)×8
=120;
(2)在四边形PCDQ中,DQ∥PC,而PQ=DC.
①如图2,当四边形PCDQ是平行四边形时,DQ=PC,则2t=18-3t,
解得 t=
18
5

②如图3,当四边形PCDQ是等腰梯形时,过Q作QF⊥BC.
则DQ=EF,2t=18-3t-6-6,
解得 t=
6
5

综上所述,当t=
18
5
6
5
秒时,线段PQ与CD相等.
另作QF⊥BC于F,则AQ=BF=12-2t,
∴PF=|12-2t-3t|=|12-5t|,
∴PQ2=(12-5t)2+82
∵PQ=CD,
∴(12-5t)2+82=102
解得 t1
18
5
t2
6
5

t=
18
5
秒或
6
5
秒时,线段PQ与CD相等.
(3)存在.t=2时,BP=6,AQ=12-4=8.
设BM=x,则AM=8-x,
∴PM2=62+x2,MQ2=82+(8-x)2,PQ2=(12-5t)2+82=68,
∵∠MPQ=90°,
∴PM2+PQ2=MQ2
即 62+x2+68=82+(8-x)2
解得x=
3
2

BM=
3
2
cm

答案解析:(1)如图1,过D作DE⊥BC于E,构建矩形ADEB和直角△DEC.利用矩形的性质和勾股定理易求AD=12,然后根据梯形面积公式进行解答;
(2)需要分类讨论:四边形PCDQ为平行四边形和等腰梯形两种情况;
(3)存在.t=2时,BP=6,AQ=12-4=8.设BM=x,则AM=8-x.由勾股定理知:PM2+PQ2=MQ2,即62+x2+68=82+(8-x)2,易求BM=
3
2
cm

考试点:四边形综合题.
知识点:本题综合考查了梯形的面积公式,矩形的性质,勾股定理以及平行四边形的判定与性质等综合知识,难度较大,需要学生对四边形的知识有一个系统的掌握.