设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)*f'(ξ)
问题描述：
设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a
设函数f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,且f(a)=0,证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=(b-ξ)*f'(ξ)
答
证明：
原等式可化为：f(ξ)=f(ξ)-f(a)=(b-ξ)*f'(ξ)
进一步化为：[f(ξ)-f(a)]/(ξ-a)=[(b-ξ)/(ξ-a)]*f'(ξ)=[(b-a)/(ξ-a)-1]f'(ξ)（*）
由于ξ从a+0变化到b-0时，k=(b-a)/(ξ-a)-1从正无穷变化到0，因此k能取到1
因此当k得1时，设对应的ξ为η，则（*）式右边为f'(η)
又由拉格朗日中值定理知存在β属于(a,ξ)，使得f(β)=[f(ξ)-f(a)]/(ξ-a)
因此β=η时便可得到结论
答
buzhidao
答
这一类型的题目通常要构造一个新函数,然后利用微分中值定理做的.
设F(x)=(X-b)*f(x)
由已知可知F(X)在区间【a b】可导且连续
再 F(a）=0 F(b)=0
则F(X)适用于罗尔定理
即存在一点ξ.使得F'(ξ)=0
F'(X)=f(x)+（x-b)f '(x)
F'(ξ)=f'(ξ)+（ξ-b)f '(ξ)=0
化简得(ξ)=(b-ξ)f'(ξ)
还有在实际中*一般不用写的.省约掉吧,
答
这是中值定理