设f（x）在x=0的某领域内二阶可导，且limx→0(sin3xx3+f(x)x2)=0，求f（0），f′（0），f″（0）及limx→0f(x)+3x2．
问题描述：
设f（x）在x=0的某领域内二阶可导，且
(lim x→0
+sin3x x3
)=0，求f（0），f′（0），f″（0）及f(x) x2
lim x→0
． f(x)+3 x2
答
(
+
)＝
＝
＝0，
所以：
(
+f(x))＝0．
又：f（x）在x=0的某领域内二阶可导，
所以：f（x），f′（x）在x=0连续，
从而：f（0）=-3．
由
＝0，
得：
＝0，
又易知：
＝
＝
=
＝
，
故：
＝
，
从而：f′(0)＝
＝
＝
x•
＝0×
＝0，
将f（x）在x=0处泰勒展开，并由
＝
得：
＝
，
计算得：
f″(0)＝
(
+
)＝0变形，再利用
＝1以及洛必达法则，来进行求解．
考试点：洛必达法则．
知识点：对于求函数在某一点的导数值问题，往往都伴随着求极限问题，所以对于极限的四则运算法则以及如何利用常用数列函数极限、等价无穷小代换、洛必达法则等来计算极限的方法要熟练的掌握，另外根据题意对求解问题进行合理的变形也是求解未知极限的基础
因为：
| lim |
| x→0 |
| sin3x |
| x3 |
| f(x) |
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| sin3x+xf(x) |
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
所以：
| lim |
| x→0 |
| sin3x |
| x |
又：f（x）在x=0的某领域内二阶可导，
所以：f（x），f′（x）在x=0连续，
从而：f（0）=-3．
由
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
得：
| lim |
| x→0 |
| ||
| x2 |
又易知：
| lim |
| x→0 |
3−
| ||
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| 3x−sin3x |
| x3 |
| lim |
| x→0 |
| 3−3cos3x |
| 3x2 |
| lim |
| x→0 |
| 3sin3x |
| 2x |
| 9 |
| 2 |
故：
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x2 |
| 9 |
| 2 |
从而：f′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| f(x)−f(0) |
| x−0 |
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x |
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x2 |
| 9 |
| 2 |
将f（x）在x=0处泰勒展开，并由
| lim |
| x→0 |
| f(x)+3 |
| x2 |
| 9 |
| 2 |
| lim |
| x→0 |
f(0)+f′(0)x+
| ||
| x2 |
| 9 |
| 2 |
计算得：
| 1 |
| 2 |
| lim |
| x→0 |
| sin3x |
| x3 |
| f(x) |
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| sinx |
| x |
考试点：洛必达法则．
知识点：对于求函数在某一点的导数值问题，往往都伴随着求极限问题，所以对于极限的四则运算法则以及如何利用常用数列函数极限、等价无穷小代换、洛必达法则等来计算极限的方法要熟练的掌握，另外根据题意对求解问题进行合理的变形也是求解未知极限的基础